สาระการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์

สาระการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์

 ตัวประกอบของจำนวนนับ (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6)

ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนนับที่เรากำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตัวประกอบของ b ก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a ลงตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หาร b ลงตัว 

                 ตัวอย่าง 
                 30 หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แสดงว่า 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 30 เป็นต้น
                 หรือ
                 จำนวนที่หาร 18 ลงตัวประกอบด้วย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็นตัวประกอบของ 18
                จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวของมันเอง
                การหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบว่า บางจำนวนที่ตัวประกอบเพียง 1 ตัว บางจำนวนมีตัวประกอบ 2 ตัว ในขณะที่บางตัวมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว
                1 มีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 1
                6 มีตัวประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6 
                2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
                3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 3 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง
                จากตัวอย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมันเอง เราเรียกจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวนี้ว่า จำนวนเฉพาะ 
                ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดที่เป็นจำนวนเฉพาะ
                การหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ นั้น เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับนั้น ๆก่อน จากนั้นจึงค่อยพิจารณา ตัวประกอบเหล่านั้นว่า มีจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะบ้าง ซึ่งจำนวนเฉพาะเหล่านั้นเราเรียนกว่า ตัวประกอบเฉพาะ

                ตัวอย่าง
                ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
                ตัวประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3
               ทั้งนี้เพราะว่า 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

การแยกตัวประกอบ (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 )

การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขียนในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับนั้น ๆ 
                ตัวอย่าง 
                12 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 x 2 x 3
                จากตัวอย่างจะพบว่า 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึ่งอาจมีการคูณซ้ำกันหลายครั้งก็ได้ และการคูณซ้ำกันหลายครั้ง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กล่าวคือเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เป็น x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ ( อ่านว่า 2 ยกกำลัง 2 )
                ตัวอย่างเพิ่มเติม
                75 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรือ x 3
                100 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรือ x  
                การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้
                วิธีที่ 1 วิธีเขียนในรูปกระจายของผลคูณของตัวประกอบ
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีนี้ เป็นการนำจำนวนนับที่กำหนดมาเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบทีละ 2 จำนวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ
                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80 
                               80 = 8 x 10
                                    = 2 x 4 x 2 x 5 
                                    = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 
                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5                                    
                       หรือ  80 = x 5
                วิธีที่ 2 วิธีตั้งหาร
                การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร ใช้วิธีหารสั้น ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆดังนี้
                1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมัน
                2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
                3) ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 2 จนกระทั่งผลหารสุดท้ายมีค่าเท่ากับ 1
                4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน จะกลายเป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนในข้อ 1
                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
                                       2 )80   
                                       2 )40            
                                       2 )20            
                                       2 )10            
                                       5 ) 5            
                                            1 
                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
                       หรือ  80 = x 5

ตัวหารร่วม (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6)

   ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วม หมายถึง จำนวนที่สามารถหารจำนวนนับที่กำหนดให้ตั้งแต่ 2 จำนวนลงตัว 
                ขั้นตอนในการหาตัวหารร่วมจะต้องเริ่มจาก
                1) หาตัวประกอบของจำนวนที่กำหนดให้ 
                2) พิจารณาตัวว่าตัวประกอบในข้อ 1 ซ้ำกันหรือไม่ 
                3) นำตัวประกอบที่ซ้ำกันเป็นตัวหารร่วม
                ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมของ 12 , 18
                         ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
                         ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
                         ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6

ห.ร.น

 ห.ร.ม. บางทีเรียกว่า หารร่วมมาก หมายถึง ตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุด
                ห.ร.ม. จะเกิดขึ้นเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป
                การหาร ห.ร.ม. สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้
                วิธีที่ 1 วิธีหาตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
                1) หาตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
                2) หาตัวประกอบร่วม (ตัวหารร่วม) ของจำนวนนับในข้อ 1 
                3) นำตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดในข้อ 2 เป็น ห.ร.ม. 
                 ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
                         ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
                         ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
                         ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 
                         ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6 
                วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
                1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
                2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง
                3) นำจำนวนที่ซ้ำกันในข้อ 1 คูณกัน 
                4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ห.ร.ม.          
                 ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
                       12 = 2 x 2 x 3 
                       18 = 2 x 3 x 3 
                       ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6 
                วิธีที่ 3 วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้
                 1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมัน
                 2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ
                 3) ในกรณีที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะใดหารผลหารได้ลงตัวทั้งหมด จะหยุดทำการหารทันที 
                 4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ห.ร.ม.
                 ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
                                 2 ) 12 , 18 
                                  3 )  6 ,  9 
                                        2 , 3 
                  ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6 
                วิธีที่ 4 วิธียูคลิก เป็นวิธีการหา ห.ร.ม. ที่เหมาะในกรณีที่มีจำนวนนับ 2 จำนวน และจำนวนนับนั้นมีค่ามาก ๆ ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้ 
                 1) นำจำนวนนับที่มีค่าน้อยไปหารจำนวนนับที่มีค่ามาก 
                 2) จากข้อ 1 ถ้ามีเศษ ให้นำเศษไปหารำนวนนับที่เป็นตัวหารในข้อ 1 
                 3) ปฎิบัติเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งพบว่าจำนวนนับใดที่เหลือจากการหารแล้วหารลงตัว จำนวนนั้นแหละคือ ห.ร.ม. 

ค.ร.น

  ค.ร.น. บางทีเรียกว่า คูณร่วมน้อย หมายถึง ตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด
                ค.ร.น.. จะเกิดขึ้นเมื่อมีจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป
                การหาร ค.ร.น.สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้
                วิธีที่ 1 วิธีหาตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
                1) หาว่าจำนวนนับที่กำหนดมาให้เป็นตัวประกอบของจำนวนใดบ้าง
                2) หาตัวคูณร่วมของข้อ 1 
                3) นำตัวคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดในข้อ 2 เป็น ค.ร.น. 
                 ตัวอย่าง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18
                         12 เป็นตัวประกอบของ 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , ... 
                         18 เป็นตัวประกอบของ 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , ... 
                         ตัวคูณร่วมของ 12 และ 18 คือ 36 ,72 , ... 
                         ดังนั้น ค.ร.น.. ของ 12 และ 18 คือ 36 
                วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้
                1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
                2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง ในกรณีที่ไม่มีจำนวนซ้ำกันทุกบรรทัด สามารถลดหลั่นลงได้
                3) นำจำนวนที่ได้ในข้อ 2 คูณกัน 
                4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ค.ร.น.          
                 ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
                       12 = 2 x 2 x 3 
                       18 = 2 x 3 x 3 
                       ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36 
                       หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ x  
                วิธีที่ 3 วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้
                 1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน
                 2) ในกรณีที่หารไม่ลงตัวทั้งหมด สามารถลดหลั่นได้ตามลำดับ
                 3) หารไปเรื่อย ๆ จนผลหารของทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 
                 4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น.
                 ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
                                 2 ) 12 , 18 
                                  3 )  6 ,  9 
                                     2 )2 , 3 
                                      3 )1 , 3 
                                           1 , 1
                  ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36 
                  หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18